Differenzialrechnung

Teilgebiet der Infinitesimalrechnung und Gegenstück zur Integralrechnung. Von Leibniz (1684) und Newton (1666) entwickeltes Teilgebiet der Analysis. Die Differenzialrechnung befasst sich mit Steigungen.

Wenn die zwei Variablen x und y durch die Gleichung y = f(x) für eine Funktion f miteinander verbunden sind, dann hängt der Wert von y vom Wert von x ab. Es kann z.B. x die Zeit bezeichnen und y die zurückgelegte Strecke. Verändert sich der Wert von x, so ändert sich auch y.

Der Bruch, den man durch die Division der Werte von x und y erhält, ist dabei die durchschnittliche Steigung von y. Die Funktion y = f(x) stellt eine Kurve im Koordinatensystem dar. Die Ableitung f'(x0) der Funktion y = f(x) bezeichnet hier die Geschwindigkeit des Gegenstandes zu einem bestimmten Zeitpunkt. Die Differenziation bezeichnet also die Berechnung von Ableitungen. Es gilt allgemein: Eine Funktion f(x) = xm hat die Ableitung f'(x) = mxm-1, wenn m fest ist.

Entsteht eine Funktion f durch die Kombination von zwei Funktionen u und v, so gelten für ihre Ableitung f' folgende Regeln: Die Ableitung einer Summe von Funktionen ist die Summe der Ableitungen dieser Funktionen. Genauso ist die Ableitung einer Differenz von Funktionen die Differenz der Ableitungen dieser Funktionen. Multipliziert man eine Funktion mit einer Konstanten, so wird auch die Ableitung mit dieser Konstanten multipliziert. Für Produkte und Quotienten von Funktionen gilt: Für f = uv gilt f' = uv' + u'v und für f = u/v f' = (u'v - uv') /v2.