Kugel (Mathematik)

Die Kugel ist der geometrische Ort aller Punkte, die im Raum von einem Punkt (M) den gleichen Abstand (r) haben, d.h.; alle Punkte auf einer Kugel sind gleich weit vom Mittelpunkt entfernt. Die gerade Verbindung zweier Punkte auf der Kugel durch den Mittelpunkt ist der Durchmesser (d) der Kugel und entspricht dem doppelten Radius: d = 2r.

Jeder ebene Schnitt durch die Kugel ergibt als Schnittfläche einen Kreis. Der Radius eines Schnittkreises wird gewöhnlich mit rho bezeichnet. Ist die Schnitthöhe a, so ergibt sich: r2 = a2 + r2.

Die Oberfläche der Kugel ist das Vierfache des Durchmesserkreises: O = 4 pi r2. Das Volumen der Kugel beträgt V = 4/3 pi r3.

Trennt man durch einen ebenen Schnitt ein Stück von der Kugel ab, so erhält man einen "Kugelabschnitt". Er wird von der "Kugelhaube" (Kugelkappe) und dem Schnittkreis (Radius rho) begrenzt. Die Höhe des Kugelabschnittes bzw. der Kugelhaube ist h. Die Oberfläche der Kugelhaube ist: O = 2 pi r. Das Volumen des Kugelabschnittes beträgt V = 1/6 x h (3q² + h²).

Wird eine Kugel durch zwei parallele Schnitte mit dem Abstand h geschnitten, so entsteht zwischen den Schnittflächen eine "Kugelschicht". Der gekrümmte Teil ihrer Oberfläche ist die "Kugelzone". Die Radien der Schnittkreise bezeichnen wir als rho1 und rho2.

Die Oberfläche der Kugelzone ist O =  pi r x h. Das Volumen der Kugelschicht ist V = 1/6 x h (3q12 + 3q22 + h2).

Wird eine Kugel in demselben Durchmesser zweimal geschnitten, so entsteht ein Kugelkeil (Apfelsinenstück). Der Winkel beider Schnitte ist a. Der Kugelkeil wird von zwei Halbkreisen und einem Sektor der Kugeloberfläche begrenzt.

Ergänzt man einen Kugelabschnitt mit dem Kegel, dessen Grundfläche die des Kugelabschnitts ist und dessen Spitze im Mittelpunkt der Kugel liegt, so erhält man einen "Kugelausschnitt" (Kugelsektor). Der Kugelabschnitt hat die Höhe h. Das Volumen des Kugelausschnittes ist V = 2/3 pi r2 x h.