Mengenlehre

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    Die Mengenlehre beschäftigt sich mit der Theorie der Mengen und ihrer Eigenschaften. Sie eröffnet einen neuen Zugang zur Mathematik und zu mathematischen Denkweisen und beruht auf der Entdeckung des Grundbegriffs "Menge" durch Georg Cantor.

    Die mathematische Grundlagenforschung wurde dadurch stark belebt, z.B. wurden Topologie und moderne Algebra auf ihr basierend entwickelt. Durch sie wurde die mathematische Denkweise präzisiert und vereinheitlicht. Der Mengenbegriff gehört zu den grundlegendsten in der Mathematik und spielt in jedem Bereich der reinen und angewandten Mathematik eine Rolle. Die Mengentheorie kommt zur Anwendung, um mathematische Behauptungen zu präzisieren oder um die Begriffe des Endlichen und Unendlichen zu verdeutlichen.

    Unter "Menge" verstehen wir eine Zusammenfassung von Dingen (Objekten), die genau bestimmt sind und die sich deutlich voneinander unterscheiden. Von jedem Ding muss feststehen, ob es zu einer bestimmten Menge gehört oder nicht, ob es also ein "Element" dieser Menge ist. Ein und dasselbe Element kann in einer Menge nur einmal vorkommen. Mengen sind z.B. die Mengen aller Primzahlen oder die Menge aller ungeraden natürlichen Zahlen. Es lässt sich für jede Zahl eindeutig feststellen, ob sie zu dieser Menge gehört oder nicht.

    Mengen bezeichnet man im Allgemeinen mit großen Buchstaben, die zur Unterscheidung auch Indices haben können, z.B. M1. Elemente von Mengen bezeichnet man dagegen mit kleinen Buchstaben.

    Mengen können dadurch bestimmt werden, dass man alle Elemente dieser Menge aufzählt oder aufzeichnet und sie in einer geschweiften Klammer { } zusammenfasst. Die Reihenfolge ist dabei bedeutungslos. Man schreibt für die Menge mit den Elementen 5; 6; 7; 8: {5 ;6 ;7 ;8}.

    Wenn jedes Element einer Menge A auch der Menge B angehört, so bezeichnet man A als Teilmenge von B und B als Obermenge von A. Dagegen ist die Schnittmenge zweier Mengen A und B die Menge der Elemente, die Elemente sowohl von A als auch von B sind. Die Vereinigungsmenge zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die zu A, B oder zu beiden Mengen gehören. Differenzmenge bezeichnet die Menge von Elementen, die in der Menge A, aber nicht in der Menge B enthalten sind. Wenn A eine Teilmenge der Menge B ist, dann wird die Menge der Elemente, die in B, aber nicht in A enthalten ist, die Komplementärmenge von A bezüglich B genannt. Die leere Menge enthält kein Element. Unter Potenzmenge der Menge A versteht man die Menge aller Teilmengen von A. Die Produktmenge ist als das kartesische Produkt definiert. Die Mengenalgebra untersucht die Gesetzmäßigkeiten der mit Mengen durchgeführten Rechenoperationen.

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