Logarithmus

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(griechisch: lógos, "Wort", arithmós, "Zahl") Abk.: log;

Wenn gilt ay = x, so ist y der Logarithmus des Numerus x zur Basis oder Grundzahl a. Man schreibt dies y = loga x. Es ist z.B. log2 8 = 3, da 23 = 8.

Die Logarithmen aller Zahlen zu einer bestimmten Basis bilden ein Logarithmussystem. Es ist möglich, zu jeder Basis Logarithmen zu bilden, normalerweise gebraucht man jedoch die Basis 10. Das System, das die Zahl 10 zur Basis hat, nennt man Zehnerlogarithmen, das Briggssche, dekadische oder gewöhnliche System. Man schreibt statt log10 immer lg. Es gilt also für a = 10 lg 10 = 1, lg 100 = 2, lg 1000 = 3, da 101 = 10, 102 = 100, 103 = 1000 usw.

Es gilt beim Rechnen mit Logarithmen insbesondere loga 1 = 0, da a0 = 1, deshalb auch lg 1 = 0. Loga a = 1, da a1 = a. Die Logarithmen zu den Zahlen größer als 1 sind alle positiv, für die Zahlen zwischen 0 und 1 sind sie alle negativ, die Logarithmen der negativen Zahlen sind imaginär. Logarithmen berechnet man mithilfe von Reihen. In so genannten Logarithmentafeln sind die Logarithmen zusammengestellt, wobei der Logarithmus meist bis zur 4. oder 5. Zahl hinter dem Komma angegeben ist. Die Zahl vor dem Komma heißt Kennziffer oder Charakteristik, die Zahl hinter dem Komma Mantisse.

In der höheren Mathematik und in den Naturwissenschaften werden die natürlichen Logarithmen, abgekürzt ln oder log nat, zur Basis e (Eulersche-Zahl) = 2,718281... verwendet. In der Informatik spielen die Logarithmen zur Basis 2, die so genannten Binär- oder Zweierlogarithmen, eine Rolle. Man schreibt entweder lb x oder ld x.

Der Logarithmus erleichtert das Rechnen mit vielstelligen Zahlen. Man kann an Stelle von Multiplikation und Division von Zahlen die Addition und Subtraktion ihrer Logarithmen vornehmen, statt Potenzieren und Radizieren von Zahlen führt man die Multiplikation und Division ihrer Logarithmen aus. Also lg (a x b) = lg a + lg b und lg (a : b) = lg a - lg b.